Question

给出下列命题，其中正确的命题是

①②⑤

（写出所有正确命题的编号）．
①在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，A＜B是cosA＞cosB的充要条件；
③已知非零向量

a

、

b

，则“

a

•

b

＞0”是“

a

、

b

的夹角为锐角”的充要条件；
④若数列{a_n}为等比数列，则“a₃a₅=16”是“a₄=4”的充分不必要条件；
⑤函数f（x）的导函数为f'（x），若对于定义域内任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)恒成立，则称f（x）为恒均变函数，那么f（x）=x²-2x+3为恒均变函数．

Answer 1

分析：①依据正切和角公式的变形及诱导公式推导；
②由于A、B是三角形的内角，得到A，B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是减函数．
由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案；
③夹角为0°时，也可使则

a

•

b

＞0；
④依据等比数列的性质；
⑤对于所给的每一个函数，分别计算

f(x1)-f(x2)

x1-x2

和f′(

x1+x2

2

)的值，检验二者是否相等，从而根据恒均变函数”的定义，做出判断．

解答：解：①根据正切和角公式tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

得到，
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
又tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
若三角形有一个为钝角，必有一个值为负值，tanA•tanB•tanC＜0，
若三角形有一个为直角，则tanA•tanB•tanC无意义，若∠C=90度，tanC无意义，
当tanA•tanB•tanC＞0时三个角为锐角，
故tanA+tanB+tanC＞0时，为锐角三角形，故①正确；
②∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，
∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故②正确；
③非零向量

a

、

b

，∵

a

、

b

的夹角为锐角，∴

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ＞0，
∵当夹角θ=0°时，满足

a

•

b

＞0，故③错；
④∵数列{a_n}为等比数列，∴若a₃a₅=16，则a42=16，即a₄=±4，故④错；
⑤∵f（x）=x²-2x+3，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

(x12-2x1)(x22-2x2)

x1-x2

=

(x1-x2)(x1+x2-2)

x1-x2

=x₁+x₂-2，
f′(

x1+x2

2

)=2•

x1+x2

2

-2=x₁+x₂-2，
故满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，∴f（x）=x²-2x+3，为恒均变函数．

点评：本题主要考查判断命题的真假，属于基础题，同时考查函数的导数运算，条件的判断及正切和角公式．