Question

7．若函数y=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（　　）

• A． {a|1≤a≤19}
• B． {a|＜a＜19}
• C． {a|1≤a＜19}
• D． {a|1＜a≤19}

Answer 1

分析 分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数为0时，求得a=1满足题意；当二次项系数不为0时，由二次函数的开口方向及判别式联立不等式组求解．

解答 解：当a²+4a-5=0时，解得a=-5或a=1，
若a=1，则原函数化为y=3，满足题意；
当a²+4a-5≠0时，要使函数y=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4a-5＞0}\\{[-4（a-1）]^{2}-12（{a}^{2}+4a-5）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4a-5＞0①}\\{{a}^{2}-20a+19＜0②}\end{array}\right.$，
解①得a＜-5或a＞1；解②得1＜a＜19．
取交集得：1＜a＜19．
综上，a的取值范围是{a|1≤a＜19}．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了二次函数的图象和性质，是基础题．