Question

已知函数y=2

3

sinxcosx+2cos2x-1，若f（x₀）=

6

5

，

π

4

≤x₀≤

π

3

，则cos2x₀=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：运用二倍角的正弦和余弦公式，两角和的正弦公式，化简函数式，再由x₀的范围，确定2x₀+

π

6

的范围，再由同角公式和两角差的余弦公式计算即可得到，注意角的变换：2x₀=（2x₀+

π

6

）-

π

6

．

解答： 解：函数y=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
f（x₀）=

6

5

，即为sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，

π

4

≤x₀≤

π

3

，则

2π

3

≤2x₀+

π

6

≤

5π

6

，
则有cos（2x₀+

π

6

）=-

1- 9 25

=-

4

5

，
则有cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

．
故答案为：

3-4 3

10

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和的正弦公式及两角差的余弦公式的运用，考查角的变换和运算能力，属于中档题和易错题．