Question

已知函数f（x）=

3

sin2ω+2cos²ωx-1（ω＞0）的最小正周期为2π．
（1）当x∈R时，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知f（A）=1，a=2

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，sinB=2sinC，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）函数解析式后两项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据最小正周期求出ω的值，确定出解析式，即可求出函数的值域；
（2）由f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，利用正弦定理化简已知的等式得到b=2c，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入求出c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2ω+2cos²ωx-1=f（x）=

3

sin2ω+2cos2ωx=2sin（2x+

π

6

），
∵

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

，
∴f（x）=2sin（x+

π

6

），
∴f（x）∈[-2，2]；
（2）由f（A）=1，得sin（A+

π

6

）=

1

2

，∴A+

π

6

=

5π

6

，得A=

2π

3

，
∵sinB=2sinC，∴b=2c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，得c=2，
∴b=2c=4，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

．

点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．