Question

【题目】设椭圆C： 的一个顶点与抛物线： 的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，使得 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=±（x﹣1）

【解析】

（1）根据抛物线的焦点求得的值，利用离心率和列方程，解方程后可求得的值，进而求得椭圆方程.（2）当斜率为零时，验证，不符合题意.当斜率不为零时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算，可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.

解：（I）由已知得b，

又e，

∴a2=3，

∴椭圆C的方程为：；；

（II）若直线l的斜率为0，则3（舍去）；

若直线斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+1，

代入椭圆C的方程，消去y整理得：

（3+2m2）y2+4my﹣4=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则有：y1+y2，y1y2，

又∵x1=my1+1，x2=my2+1，

∴x1x2+y1y2

=（my1+1）（my2+1）+y1y2

=（1+m2）y1y2+m（y1+y2）+1

=（1+m2）（）+m（）+1

=﹣1，

解得m=±，

∴直线l方程为：y=±（x﹣1）；