Question

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．求：
（1）BC₁与AB₁所成的角；
（2）求BD₁与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由BC₁∥AD₁，得∠D₁AB₁是BC₁与AB₁所成的角，由此能求出BC₁与AB₁所成的角．
（2）由DD₁⊥平面ABCD，得∠D₁BD是BD₁与平面ABCD所成角，由此能求出BD₁与平面ABCD所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵BC₁∥AD₁，∴∠D₁AB₁是BC₁与AB₁所成的角，
∵AD₁=AB₁=B₁D₁，
∴∠D₁AB₁=60°，
∴BC₁与AB₁所成的角为60°．
（2）∵DD₁⊥平面ABCD，∴∠D₁BD是BD₁与平面ABCD所成角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则BD=$\sqrt{2}$，BD₁=$\sqrt{3}$，
∴cos∠D₁BD=$\frac{BD}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴BD₁与平面ABCD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．