Question

【题目】已知函数的最小值为．

⑴设，求证： 在上单调递增；

⑵求证： ；

⑶求函数的最小值．

Answer 1

【答案】⑴见解析⑵见解析⑶见解析

【解析】试题分析：（1）先求导求出，再求导，利用导数的符号变换得到函数的单调区间；（2）由⑴可知在上单调递增，再利用零点存在定理及函数的单调性进行求解；（3）分离参数，合理构造，利用导数研究函数的最值.

试题解析：⑴

∵

∴在上单调递增

⑵由⑴可知在上单调递增

∵

∴存在唯一的零点，设为，则 且

当时， ；当时，

从而在上单调递增，在上单调递减

所以的最小值

∵ ∴ ∴

∴（当且仅当时取等号）

∵ ∴

（第二问也可证明，从而得到）

⑶

同⑴方法可证得在上单调递增

∵

∴

∴存在唯一的零点，设为，则 且

所以的最小值为

∵ ∴

∴，即

由⑵可知

∴=

∵在上单调递增

∴

所以的最小值为