Question

设函数f（x）的定义域为D，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列x=g（t）是不是f（x）的一个等值域变换？说明你的理由：（A）f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R；（B）f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）设f（x）=log₂x（x∈R⁺），g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围，并指出x=g（t）的一个定义域；
（3）设函数f（x）的定义域为D，值域为B，函数g（t）的定义域为D₁，值域为B₁，写出x=g（t）是f（x）的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．

Answer 1

分析：（1）根据题意中等值域变换的定义，分别分析（A）、（B）是否符合其定义，即值域是否相同，可得答案；
（2）根据题意，易得f（x）的值域为R，则g（t）=at²+2t+1能取到任意一个正数，分a=0与a≠0两种情况讨论，分析可得答案；
（3）设函数f（x）的定义域为D，值域为B，函数g（t）的定义域为D₁，值域为B₁，举例分析可得答案．

解答：解：（1）（A）：函数f（x）=2x+b，x∈R的值域为R，
x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+b≥4+b，
所以，x=g（t）不是f（x）的一个等值域变换；（2分）
（B）：f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，即f（x）的值域为[

3

4

，+∞)，
当t∈R时，f(g(t))=(2t-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，即y=f（g（t））的值域仍为[

3

4

，+∞)，
所以，x=g（t）是f（x）的一个等值域变换；（5分）
（2）根据题意，易得f（x）的值域为R，因为x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，
所以，g（t）=at²+2t+1能取到任意一个正数，（6分）
1）当a=0时，g（t）=2t+1是一次函数，g(t)=2t+1＞0?t＞-

1

2

；（8分）
2）当a≠0时，g（t）=at²+2t+1是二次函数，

a＞0 △=4-4a≥0

?0＜a≤1，at2+2t+1＞0?t∈(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)，（11分）
所以，a∈[0，1]，
当a=0时，x=g（t）=2t+1的定义域为(-

1

2

，+∞)，
当a∈（0，1]时，g（t）=at²+2t+1的定义域为(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)；
（注：定义域不唯一）（13分）
（3）设函数f（x）的定义域为D，值域为B，函数g（t）的定义域为D₁，值域为B₁，则x=g（t）是f（x）的一个等值域变换的充分非必要条件是“D=B₁”．（15分）
条件的不必要性的一个例子是．f（x）=x²，D=R，B=[0，+∞）g（t）=2^t-1，D₁=R，B₁=（-1，+∞）
此时D?B₁，但f（g（t））=（2^t-1）²的值域仍为B=[0，+∞），
即g（t）=2^t-1（x∈R）是f（x）=x²（x∈R）的一个等值域变换．（18分）
（反例不唯一）

点评：本题是新定义的类型，解题时注意认真分析题意，准确理解把握并运用新定义解题．