Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-

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（1）求证：f（x）+f（-x）=0
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）求f（X）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 代入即证
（2）设x₂＞x₁则x₂-x₁＞0，由已知当x＞0时，f（x）＜0可得f（x₂-x₁）＜0，则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）可证
（3）由（2）可得f（x）在[-3，3]上单调递减，且f（1）=-

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，从而可得函数有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）；函数有最大值，f（-3）=-f（3）可求

解答：（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
（2）证明：设x₂＞x₁则x₂-x₁＞0
∵当x＞0时，f（x）＜0
∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）
∴函数f（x）是R上的减函数
（3）解：由（2）可得f（x）在[-3，3]上单调递减，且f（1）=-

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当x=3时函数有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2
当x=-3时函数有最大值，f（-3）=-f（3）=2
从而可得函数的最值为2，最小值为-2．

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数函数值，及利用赋值判断函数的奇偶性，利用函数单调性求解函数的最值，利用构造条件判断抽象函数的单调性的技巧要求体会掌握，是函数知识的综合应用．