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已知函数,且在上的最大值为
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明。
解:(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),
对于任意的x∈(0,),有sinx+xcosx>0,
当a=0时,f(x)=-,不合题意;
当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,
从而f(x)在(0,)单调递减,
又函数上图象是连续不断的,
故函数在上上的最大值为f(0)=-,不合题意;
当a>0时,x∈(0,),f′(x)>0,从而f(x)在(0,)单调递增,
又函数上图象是连续不断的,
故函数在上的最大值为f()==
解得a=1,综上所述,得
(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点
证明如下:由(1)知,
从而有f(0)=-<0,f()=>0,
又函数在上图象是连续不断的,
所以函数f(x)在(0,)内至少存在一个零点,
又由(1)知f(x)在(0,)单调递增,
故函数f(x)在(0,)内仅有一个零点.
当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx,
由g()=1>0,g(π)=-π<0,
且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的,故存在m∈(,π),使得g(m)=0.
由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0,
从而g(x)在[,π]上单调递减.
当x∈(,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,
从而f(x)在(,m)内单调递增
故当x∈(,m)时,f(x)>f()=>0,
从而(x)在(,m)内无零点;
当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m)=0,
即f′(x)<0,
从而f(x)在(,m)内单调递减
又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的,
从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。
综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。
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