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设函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个极值点x1,x2,且x1<x2
(1)求实数a的取值范围,并讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对任意的x∈(x1,+∞),都有f(x)>k成立,求实数k的取值范围.
考点:利用导数研究函数的极值
专题:函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:(1)求导f′(x)=2x+
a
x+1
=
2x2+2x+a
x+1
(x>-1),再令g(x)=2x2+2x+a(x>-1),则其对称轴为x=-
1
2
,从而可得
△=4-8a>0
g(-1)=a>0
;从而解a;
可知f′(x)=
2x2+2x+a
x+1
=
2(x-x1)(x-x2)
x+1
,其中-1<x1<x2,从而由导数确定函数的单调性;
(2)由(1)可知f(x)在区间(x1,+∞)上的最小值为f(x2),从而得到g(x2)=2
x
2
2
+2x2+a=0
,从而可得a=-(2
x
2
2
+2x2)
,化简f(x2)=
x
2
2
+aln(x2+1)=
x
2
2
-(2
x
2
2
+2x2)ln(x2+1)
,设h(x)=x2-(2x2+2x)ln(x+1),其中-
1
2
<x<0
;求导h′(x)=2x-2(2x+1)ln(x+1)-2x=-2(2x+1)ln(x+1),从而化恒成立问题为最值问题.
解答: 解:(1)由f(x)=x2+aln(x+1)可得f′(x)=2x+
a
x+1
=
2x2+2x+a
x+1
(x>-1),
令g(x)=2x2+2x+a(x>-1),则其对称轴为x=-
1
2

故由题意可知x1,x2是方程g(x)=0的两个均大于-1的不相等的实数根,
其充要条件为
△=4-8a>0
g(-1)=a>0

解得0<a<
1
2

可知f′(x)=
2x2+2x+a
x+1
=
2(x-x1)(x-x2)
x+1
,其中-1<x1<x2,故
①当x∈(-1,x1)时,f′(x)>0,即f(x)在区间(-1,x1)上单调递增,
②当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,即f(x)在区间(x1,x2)上单调递减,
③当x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在区间(x2,+∞)上单调递增;
(2)由(1)可知f(x)在区间(x1,+∞)上的最小值为f(x2),
又由于g(0)=a>0,因此-
1
2
x2<0

又由g(x2)=2
x
2
2
+2x2+a=0

可得a=-(2
x
2
2
+2x2)

从而f(x2)=
x
2
2
+aln(x2+1)=
x
2
2
-(2
x
2
2
+2x2)ln(x2+1)

设h(x)=x2-(2x2+2x)ln(x+1),其中-
1
2
<x<0

则h′(x)=2x-2(2x+1)ln(x+1)-2x=-2(2x+1)ln(x+1),
-
1
2
<x<0
知:2x+1>0,ln(x+1)<0,
故h′(x)>0,故h(x)在(-
1
2
,0)
上单调递增;
所以,f(x2)=h(x2)>h(-
1
2
)=
1-2ln2
4

所以,实数k的取值范围为k≤
1-2ln2
4
点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用,属于中档题.
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已知:f(x)=
x2+ax+b
x
,x∈(0,+∞)
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f1(x)+f2(x)
2
-
|f1(x)-f2(x)|
2
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A、假设a,b,c不都是偶数
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4
2
3
,则t的取值范围为     (  )
A、[-
8
5
3
8
5
3
]
B、(-
8
5
3
8
5
3
C、[
8
5
3
,+∞)
D、(-∞,
8
5
3

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已知(1+
x
2
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(2)求展开式中系数最大的项.

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