【题目】已知数列{an}中,a1= ,an=
(n≥2,n∈N+).
(1)求a2 , a3 , a4的值,并猜想数列{an}的通项公式an .
(2)用数学归纳法证明你猜想的结论.
【答案】
(1)解: a1= ,an=
,
∴a2= =
,a3=
=
,a4=
=
,
猜想:an= ,
(2)解::①当n=1时,猜想成立,
②假设n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak= .
那么n=k+1时,ak+1= =
=
∴当n=k+1时猜想仍成立.
根据①②,可以断定猜想对任意的n∈N*都成立.
【解析】(1)由题意a1= ,an=
(代入计算,可求a2、a3、a4值,并根据规律猜想出数列{an}的通项公式;(2)检验n=1时等式成立,假设n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识,掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,以及对数学归纳法的定义的理解,了解数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.
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【题目】已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1), ,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)试讨论函数F(x)在定义域D上的单调性;
(3)若关于x的方程F(x)﹣2m2+3m+5=0在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.
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【题目】用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x , x+2,10﹣x}(x≥0),则f(x)的最大值为( )
A.7
B.6
C.5
D.4
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【题目】下列四个函数:
①y=3﹣x;②y=2x﹣1(x>0);③y=x2+2x﹣10,;④ .
其中定义域与值域相同的函数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】已知函数f(x)= +x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)设函数g(x)=f(x)+ x2﹣kx,且g(x)在其定义域上存在单调递减区间(即g′(x)<0在其定义域上有解),求实数k的取值范围.
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【题目】设函数,
(
).
(1)求函数的单调增区间;
(2)当时,记
,是否存在整数
,使得关于
的不等式
有解?若存在,请求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,一条巡逻船由南向北行驶,在处测得山顶
在北偏东
方向上,匀速向北航行
分钟到达
处,测得山顶
位于北偏东
方向上,此时测得山顶
的仰角
,若山高为
千米,
(1)船的航行速度是每小时多少千米?
(2)若该船继续航行分钟到达
处,问此时山顶位于
处的南偏东什么方向?
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【题目】在平面直角坐标系中,点
,圆
,以动点
为圆心的圆经过点
,且圆
与圆
内切.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若直线过点
,且与曲线
交于
两点,则在
轴上是否存在一点
,使得
轴平分
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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