Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且bcosC=a-

1

2

c．
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由三角形的内角和为π得到A=π-（B+C），利用诱导公式得到sinA与sin（B+C）相等，再由正弦定理化简得到一个关系式，把已知的等式变形后代入这个关系式中，即可求出cosB的值，然后由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b的值，以及（1）求出的B的度数求出sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形周长l的式子，利用诱导公式把sinC化为sin（A+B），再把B的度数代入，利用两角和的正弦函数公式化简，合并后将

1

3

利用乘法分配律乘进括号中，变形后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，进而得到正弦函数的值域，即可得到三角形周长l的范围．

解答：解：（1）在△ABC中，有sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
由正弦定理得：a=bcosC+ccosB，
又bcosC=a-

1

2

c，代入得：ccosB-

1

2

c=0，即cosB=

1

2

，
又B为△ABC的内角，∴B=

π

3

；
（2）由b=1，sinB=

3

2

，
根据正弦定理得：a=

bsinA

sinB

=

2

3

sinA，c=

bsinC

sinB

=

2

3

sinC，
∴l=a+b+c=1+

2

3

（sinA+sinC）=1+

2

3

[sinA+sin（A+B）]
=1+

2

3

[sinA+sin（A+

π

3

）]
=1+

2

3

（sinA+

1

2

sinA+

3

2

cosA）
=1+2（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=1+2sin（A+

π

6

）（12分）
∵B=

π

3

，∴A∈（0，

2π

3

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin(A+

π

6

)∈(

1

2

，1]
于是l=1+2sin（A+

π

6

）∈（2，3]，
故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

点评：此题综合考查了正弦定理，以及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理、法则及公式是解本题的关键，同时学生做题时注意角度的范围，掌握正弦函数的值域的求法，牢记特殊角的三角函数值．