Question

如图，椭圆C：的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，|A₁B₁|=，
。

Answer 1

解：（1）由知  ①
由知a=2c  ②
又b²=a²-c²， ③
由①②③解得a²=4，b²=3
故椭圆C的方程为；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
假设使成立的直线l存在
（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得
，即
∵
∴

即x₁x₂+y₁y₂=0
将y=kx+m代人椭圆方程，得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0
由求根公式可得  ④
  ⑤



将④⑤代人上式并化简得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，⑥
将m²=1+k²代入⑥并化简得-5（k²+1）=0，矛盾
即此时直线l不存在。
（ii）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1
当x=1时，A，B，P的坐标分别为
∴
∴
当x=-1时，同理可得，矛盾
即此时直线l也不存在
综上可知，使成立的直线l不存在。