Question

【题目】已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{an}的首项a1=a．
（1）如果an=f（n）（n∈N*），写出数列{an}的通项公式；
（2）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{an}是等差数列，求首项a的取值范围；
（3）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|= ，

又n≥1且n∈N*，∴an=f（n）=n+3

（2）解：如果{an}是等差数列，则an﹣an﹣1=d，an=an﹣1+d，

由f（x）知一定有an=an﹣1+3，公差d=3．

当a1≥﹣1时，符合题意．

当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．

当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．

综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3

（3）解：当a≥﹣1时，an=f（an﹣1）=an﹣1+3，∴数列{an}是以a为首项，公差为3的等差数列， ．

当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，an=an﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，

又S1=a也满足上式，∴ （n∈N*）

当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，an=an﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，

又S1=a也满足上式，∴ （n∈N*）．

综上所述：Sn=

【解析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出an=f（n）=n+3．（2）如果{an}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．