Question

已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．
求证：l⊥α

Answer 1

证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC
∴PA = PB = PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB，
∵
∴ AB⊥平面POD
∵PO平面POD．
∴PO⊥AB．
同理可证 PO⊥BC
∵，，
∴ PO⊥α，即l⊥α
若l不经过O时，可经过O作∥l．用上述方法证明⊥α，
∴l⊥α．
证法二：采用反证法
假设l不和α垂直，则l和α斜交于O．
同证法一，得到PA = PB = PC．
过P作于，则，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的．
∴假设l不和α垂直是不成立的．
∴l⊥α
若l不经过O点时，过O作∥l，用上述同样的方法可证⊥α，
∴l⊥α
评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法．