Question

10．已知f（x）是定义在正整数集N^*上的函数，当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时，f（x+1）-f（x）=3且满足f（1）+f（2）=5．
（1）求证：{f（2n-1）}（n∈N^*）是等差数列；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用条件建立方程组关系，利用f（1），f（3），f（5）的规律，结合等差数列的定义判断f（2n+1）-f（2n-1）是个常数即可．
（2）利用当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时f（x+1）-f（x）=3去，求出函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}f（1）+f（2）=5\\ f（2）-f（1）=1\end{array}\right.$，解得f（1）=2，f（2）=3．
所以f（2n+1）-f（2n-1）=[f（2n+1）-f（2n）]+[f（2n）-f（2n-1）]=3+1=4，
所以f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N₊）成等差数列，公差为4．
即：{f（2n-1）}（n∈N^*）是等差数列；
（2）当x为奇数时，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=$\frac{（x-1）•4}{2}$+2=2x，
当x为偶数时，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=$\frac{1}{2}$•1+$\frac{x-2}{2}$•3+2=2x-1
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x为奇数\\ 2x-1，x为偶数\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，数列与函数的综合应用，以及等差数列的定义和判断，综合性较强．