Question

若不等式

-x2+4x

≤ax+2a恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：令y=f（x）=

-x2+4x

，在同一直角坐标系中作出f（x）=

-x2+4x

与y=ax+2a=a（x+2）的图象，数形结合，分析即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：令y=f（x）=

-x2+4x

，则（x-2）²+y²=4（0≤x≤4），是以（2，0）为圆心，2为半径的上半圆．
令y=ax+2a=a（x+2），是以a为斜率，且过定点（-2，0）的直线，
作图如下：

由图可知，当直线y=a（x+2）与半圆f（x）=

-x2+4x

相切时，由Rt△AEP中AE=4，PE=2知，∠PAE=30°，
所以，a=k_PA=tan30°=

3

3

，此时满足不等式

-x2+4x

≤ax+2a恒成立，
将此时的直线l（直线AP）绕定点A逆时针方向旋转，直到与x轴垂直，在这个过程中，不等式

-x2+4x

≤ax+2a恒成立，
所以，a≥

3

3

．
故答案为：[

3

3

，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，在同一直角坐标系中作出f（x）=

-x2+4x

与y=ax+2a=a（x+2）的图象是关键，考查数学结合思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．