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    已知向量
    a
    =（1，2），
    b
    =（cosα，sinα），设
    m
    =
    a
    +t
    b
    （t为实数）．
    （1）若α=
    π
    4
    ，求当|
    m
    |取最小值时实数t的值；
    （2）若
    a
    ⊥
    b
    ，问：是否存在实数t，使得向量
    a
    -
    b
    和向量
    m
    的夹角为
    π
    4
    ，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先把a=
    π
    4
    代入求出向量
    b
    的坐标，再把|
    m|
    转化为
    		(
    a
    +t
    b
    )    2
    =
    		5+t2+2t
    a
    •
    b
    ，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出|
    m|
    的最小值以及实数t的值；
    （2）先利用向量垂直求出|
    a
    -
    b
    |    以及|
    a
    +t
    b
    |    和（
    a
    -
    b
    ）（
    a
    +t
    b
    ），代入cos45°=
    (
    a
    -
    b
    )(
    a
    +t
    b
    )
    |
    a
    -
    b
    ||
    a
    +t
    b
    |
    ，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．
    解答：解：（1）因为a=
    π
    4
    ，所以
    b
    =（
    		2
    2
    ，
    		2
    2
    ），
    a
    •
    b
    =
    2
    		3
    3
    ，
    则|
    m|
    =
    		(
    a
    +t
    b
    )    2
    =
    		5+t2+2t
    a
    •
    b
    =
    		t2+3
    		2
    t+5
    =
    		(t+
    3
    		2
    2
    )    2    +
    1
    2

    所以当t=-
    3
    		2
    2
    时，|
    m|
    取到最小值，最小值为
    		2
    2
    ．（7分）
    （2）由条件得cos45°=
    (
    a
    -
    b
    )(
    a
    +t
    b
    )
    |
    a
    -
    b
    ||
    a
    +t
    b
    |
    ，
    又因为|
    a
    -
    b
    |    =
    		(
    a
    -
    b
    )    2
    =
    		6
    ，|
    a
    +t
    b
    |    =
    		(
    a
    +t
    b
    )    2
    =
    		5+t2
    ，
    （
    a
    -
    b
    ）（
    a
    +t
    b
    ）=5-t，则有
    5-t
    		6
    		5+t2
    =
    		2
    2
    ，且t＜5，
    整理得t2+5t-5=0，所以存在t=
    -5±3
    		5
    2
    满足条件．（14分）
    点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模．本题的易错点在于（
    a
    -
    b
    ）（
    a
    +t
    b
    ）=5-t中的t＜5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t＜5．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，已知向量
    a
    =（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
    π
    2
    )    ．
    （1）若
    AB
    ⊥
    a
    ，且|
    AB
    |=
    		5
    |
    OA
    |(O    为坐标原点），求向量
    OB
    ；
    （2）若向量
    AC
    与向量
    a
    共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求
    OA
    •
    OC
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（1，2），
    b
    =（2，x）如果
    a
    与
    b
    所成的角为锐角，则x的取值范围是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（1，2），
    b
    =（x，-2）且
    a
    ⊥
    b
    ，则实数x等于（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    ①函数y=tan(3x-
    π
    2
    )    的最小正周期是
    π
    3

    ②角α终边上一点P（-3a，4a），且a≠0，那么cosα=-
    3
    5

    ③函数y=cos(2x-
    π
    3
    )    的图象的一个对称中心是(-
    π
    12
    ，0)
    ④已知向量
    a
    =（1，2），
    b
    =（1，0），
    c
    =（3，4）．若λ为实数，且（
    a
    +λ
    b
    ）∥
    c
    ，则λ=2
    ⑤设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则f（1）=-3
    其中正确的个数有（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（1，2），
    b
    =（x，4），若|
    b
    |=2|
    a
    |，则x的值为
    ±2
    ±2
    ．

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