精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.
(1)f(x)不是其定义域上的凸函数.
f(x)的定义域为R,设x1≠x2,则
f(
x1+x2
2
)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=a(
x1+x2
2
)
2
-
1
2
(ax12-ax22)=-
a(x1-x2)2
4
<0,…2分
∴f(
x1+x2
2
)<
1
2
[f(x1)+f(x2)],…4分
∴f(x)不是其定义域上的凸函数…6分
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)内是凸函数,
∴f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],…8分
loga
x1+x2
2
1
2
(logax1+logax2)=loga
x1x2
①…10分
∵x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2
(
x1+x2
2
)
2
-x1x2=
(x1-x2)2
4
>0,即
x1+x2
2
x1x2
…12分
故要①成立,则a>1.
∴实数a的取值范围是(1,+∞)…14分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•奉贤区一模)若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:
①f(x)=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”;
②f(x)=x不是“λ-伴随函数”;
③f(x)=x2是“λ-伴随函数”;
④“
1
2
-伴随函数”至少有一个零点.
其中正确结论的个数是(  )个.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(数学公式)>数学公式[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省襄阳市高一(上)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f()>[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案