Question

对于函数f（x），其定义域为D，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax²（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）不是其定义域上的凸函数．
f（x）的定义域为R，设x₁≠x₂，则
f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=a(

x1+x2

2

)2-

1

2

（ax12-ax22）=-

a(x1-x2)2

4

＜0，…2分
∴f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，…4分
∴f（x）不是其定义域上的凸函数…6分
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）内是凸函数，
∴f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，…8分
即loga

x1+x2

2

＞

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）=loga

x1x2

①…10分
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴(

x1+x2

2

)2-x₁x₂=

(x1-x2)2

4

＞0，即

x1+x2

2

＞

x1x2

…12分
故要①成立，则a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）…14分