Question

己知

a

=（sin（θ-

π

4

），-1），

b

=（-1，3）其中θ∈（0，

π

2

），且

a

∥

b

．
（1）求sinθ的值；
（2）已知△ABC中，∠A=θ，BC=2

2

+1，求边AC的最大值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理由

a

∥

b

，可得sin(θ-

π

4

)=

1

3

．由于θ∈（0，

π

2

），(θ-

π

4

)∈(-

π

4

，

π

4

)，即可得出cos(θ-

π

4

)．变形sinθ=sin(θ-

π

4

+

π

4

)．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得：

AC

sinB

=

BC

sinA

，代入可得AC=3

2

sinB，利用sinB≤1，即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴3sin(θ-

π

4

)=1，即sin(θ-

π

4

)=

1

3

．
∵θ∈（0，

π

2

），
∴(θ-

π

4

)∈(-

π

4

，

π

4

)．
∴cos(θ-

π

4

)=

2 2

3

．
∴sinθ=sin(θ-

π

4

+

π

4

)=sin(θ-

π

4

)cos

π

4

+cos(θ-

π

4

)sin

π

4

=

2

2

×(

1

3

+

2 2

3

)=

4+ 2

6

．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得：

AC

sinB

=

BC

sinA

，
∴

AC

sinB

=

2 2 +1

sinθ

=3

2

，
∴AC=3

2

sinB≤3

2

，当且仅当sinB=1，即B=

π

2

时取等号，
∴边AC的最大值是3

2

．

点评：本题考查了向量共线定理、正弦定理、三角函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．