Question

已知曲线C是动点M到两个定点O（0，0）、A（3，0）距离之比为

1

2

的点的轨迹．
（1）求曲线C的方程；
（2）求过点N（1，3）与曲线C相切的直线方程．

Answer 1

分析：（1）设点M（x，y），利用两点之间的距离公式，将|OM|、|AM|表示成关于x、y的式子，利用它们的距离之比为

1

2

建立等式，化简整理即可得到曲线C的方程；
（2）由（1）得曲线C是以（-1，0）为圆心，半径r=2的圆．然后按直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式加以计算，即可得到两条切线的方程．

解答：解：（1）设点M（x，y），则
|OM|=

x2+y2

，|AM|=

(x-3)2+y2

∵

|OM|

|AM|

=

1

2

，∴|AM|=2|OM|即

(x-3)2+y2

=2

x2+y2

…4分
两边平方整理，得：x²+y²+2x-3=0，即为所求曲线C的方程．…6分
（2）由（1）得x²+y²+2x-3=0，整理得（x+1）²+y²=4
∴曲线C是以（-1，0）为圆心，半径r=2的圆．
i）当过点N（1，3）的直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，显然与圆相切；…8分
ii） 当过点N（1，3）的直线的斜率存在时，设方程为y-3=k（x-1）
即kx-y+3-k=0                               …9分
∵直线与圆相切．得圆心到该直线的距离等于半径，
∴

|-k+0+3-k|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

，…11分
可得直线方程为5x-12y+31=0                 …12分
所以过点N（1，3）与曲线C相切的直线方程为x=1或5x-12y+31=0．…13分

点评：本题给出满足条件的动点，求轨迹方程并求与曲线相切的直线方程，着重考查了直线与圆的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．