已知函数()
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在处取得极值,不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,证明不等式 .
(1)在上单调递减,在上单调递增;(2);(3)见解析
解析试题分析:(1)求导数,对参数进行分类讨论,当导函数大于0时,得到增区间,导函数小于0时得到减区间。(2)含参数不等式恒成立问题,一般要把要求参数分离出来,然后讨论分离后剩下部分的最值即可。讨论最值的时候要利用导数判断函数的单调性。(3)证明不等式可以有很多方法,但本题中要利用(1)(2)的结论。构造函数,然后利用函数单调性给予证明。
试题解析:(1)函数的定义域为, 1分
当时,,从而,故函数在上单调递减 3分
当时,若,则,从而,
若,则,从而,
故函数在上单调递减,在上单调递增; 5分
(2)由(1)得函数的极值点是,故 6分
所以,即,
由于,即. 7分
令,则
当时,;当时,
∴在上单调递减,在上单调递增; 9分
故,所以实数的取值范围为 10分
(3)不等式 11分
构造函数,则,
在上恒成立,即函数在上单调递增, 13分
由于,所以,得
故 14分
考点:1、多项式函数求导;2、利用导数判断函数的单调性,最值以及证明不等式的综合应用。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数().
(1)当时,求的图象在处的切线方程;
(2)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围;
(3)若函数的图象与轴有两个不同的交点,且,求证:(其中是的导函数).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)满足.
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论f(x)在区间(-3,3)上的单调性.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知f(x)=ex-t(x+1).
(1)若f(x)≥0对一切正实数x恒成立,求t的取值范围;
(2)设,且A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的t≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围;
(3)求证:(n∈N*).
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