Question

20．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列结论中正确的个数是（　　）
①当点P在BC₁（不含端点）上运动时，平面AD₁C∥平面A₁BP；
②当点P在BC₁（不含端点）上运动时，A₁D⊥AP；
③B₁D⊥平面ACD₁；
④若M是平面A₁B₁C₁D₁上点D到C₁距离相等的点，则点M的轨迹是直线A₁D．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由D₁C∥A₁B，AD₁∥BC₁，得①正确；由A₁D⊥平面ABC₁，得②正确；由B₁D⊥AD₁，B₁D⊥AC，得③正确；由M点的轨迹是一条与直线D C₁平行的直线，得④错误．

解答 解：在①中：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁C∥A₁B，AD₁∥BC₁，
AD₁∩D₁C=D₁，BC₁∩A₁B=B，
∴当点P在BC₁（不含端点）上运动时，平面AD₁C∥平面A₁BP，故①正确；
在②中：∵ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
∵AB⊥平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥AB，
∵AB∩AD₁=A，∴A₁D⊥平面ABC₁，
∴当点P在BC₁（不含端点）上运动时，A₁D⊥AP，故②正确；
在③中：∵ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥A₁B₁，
∵A₁D∩A₁B₁=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁D，∴B₁D⊥AD₁，
同理，B₁D⊥AC，又AC∩AD₁=A，∴B₁D⊥平面ACD₁，故③正确；
在④中：M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，
∴M点的轨迹是一条与直线D C₁平行的直线，而A₁D∩D C₁=D，故④错误．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．