Question

（2013•汕头一模）已知函数．f（x）=Asin（

π

3

x+φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜

π

2

，y=f（x）的部分图象如图所示，点R（0，

A

2

）是该图象上的一点，P，Q分别为该图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且 

PR

•

PQ

=1．
（1）求φ和A的值；
（2）若f（

3α

π

）=

6

5

，求cos（2α+

π

3

）的値．

Answer 1

分析：（1）把点R（0，

A

2

）代入f（x）的解析式求得sinφ=

1

2

，可得φ 的值．求得 P（1，A），Q（4，-A），根据

PR

•

PQ

=1 求得 A=2，从而求得函数f（x）的解析式．
（2）由 f（

3a

π

）=

6

5

求得sin（α+

π

6

）=

3

5

，再利用二倍角公式求得cos（2α+

π

3

） 的值．

解答：解：（1）点R（0，

A

2

）是f（x）=Asin（

π

3

x+φ）的图象上的一点，∴sinφ=

1

2

，
再根据0＜φ＜

π

2

，可得 φ=

π

6

．
设点P的坐标为（x₁，A），点Q的坐标为（x₂，-A），由题意可得

π

3

•x1+

π

6

=

π

2

，

π

3

•x2+

π

6

=

3π

2

，
解得 x₁=1，x₂=4．
∴P（1，A），Q（4，-A）．
∵

PR

•

PQ

=1，∴（-1，-

A

2

）•（3，-2A）=-3+A²=1，∴A=2．
∴f（x）=2sin（

π

3

x+

π

6

）．
（2）∵f（

3α

π

）=2sin（

π

3

•

3α

π

+

π

6

）=2sin（α+

π

6

）=

6

5

，∴sin（α+

π

6

）=

3

5

，
∴cos（2α+

π

3

）=cos2（α+

π

6

）=1-2sin2(α+

π

6

)=1-

18

25

=

7

25

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式、二倍角公式，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，
属于中档题．