【题目】已知椭圆的焦距为,设右焦点为,过原点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,线段的中点为,且.
(1)求弦的长;
(2)当直线的斜率,且直线时, 交椭圆于,若点在第一象限,求证:直线与轴围成一个等腰三角形.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)关键求点A坐标关系:设,则根据条件表示, ,再根据向量数量积得,即得的长为.(2)证直线与轴围成一个等腰三角形,就是证直线的斜率相反.先确定A点坐标,并求出椭圆方程,再设与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理可得两点横坐标和与积的关系,代入直线的斜率公式,并化简可证它们为相反关系.
试题解析:(1)因为椭圆: 的焦距为,则,
设,则, , ,
,则,所以的长为.
(2)因为直线的斜率时,且直线,所以,设, ,
∴由(1)知, ,所以,又半焦距为,所以椭圆,联解:
得,设,则, ,
设直线的斜率分别为,则, ,那么
,
所以直线与轴围成一个等腰三角形.
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【题目】一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t;生产1车乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为10000元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大利润?最大利润是多少?
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【题目】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为(0,5).
(1)求b,c的值;
(2)若对任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范围.
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【题目】“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
附: ,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知函数f(x)=log3 ,g(x)=﹣2ax+a+1,h(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)当a=﹣1时,证明h(x)是奇函数;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=log3g(x)有两个不等实数根,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1 , A2 , B1 , B2为椭圆顶点,F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.( ,1)
B.(0, )
C.(0, )
D.( ,1)
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