Question

【题目】(2017·成都一诊)已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；

(2)过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析

【解析】试题分析:(1)根据点斜式求得直线l1的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理解得|y1－y2| ，最后根据三角形面积公式S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|得 结果(2)由三点共线，利用两点斜率公式得y2(3－x1)=2(－y1)，代入直线方程化简得k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]=0，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得等式成立，即证得结果

试题解析：解：(1)由题意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵直线l1的倾斜角为，∴k＝1.

∴直线l1的方程为y＝x－1，即x＝y＋1.

代入椭圆方程消去x，可得9y2＋8y－16＝0.

∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.

∴S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|＝

＝＝.

(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．

代入椭圆方程消去y，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

∵直线BN⊥l于点N，∴N(5，y2)．

∴kAM＝，kMN＝.

而y2(3－x1)－2(－y1)

＝k(x2－1)(3－x1)＋2k(x1－1)

＝－k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]

＝－k

＝0，

∴kAM＝kMN，故A，M，N三点共线．