Question

（2012•商丘二模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x²+2x+1≥4x²，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由题意可得|x+1|-2|x|≥a恒成立，求出h（x）的最大值为1，可得1≥a，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x²+2x+1≥4x²，解得-

1

3

≤x≤1，
故不等式的解集为[-

1

3

，1]．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|-2|x|≥a．
设h（x）=|x+1|-2|x|=

1-x ， x≥0 3x+1 ， -1≤x＜0 x-1 ， x＜-1

．
故当x≥0时，h（x）≤1． 当-1≤x＜0时，-2≤h（x）＜1． 当x＜-1时，h（x）＜-2．
综上可得h（x）的最大值为1．
由题意可得1≥a，故实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值，函数的恒成立问题，属于中档题．