Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，BC=2AB=2PA．点M在侧棱PC上，且CM=2MP．
（I）求直线AM与平面PCD所成角的正弦值；
（II）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：设BC=2AB=2PA=2．
（Ⅰ）过A作AN⊥PD于N，连接MN．
∵侧棱PA⊥面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD．
∴CD⊥AN．
∴AN⊥面PCD．
则∠AMN为直线AM与平面PCD所成的角． …（3分）
在△PAM中，AM==1．
在RT△PAD中，求得AN=．∴sin∠AMN==．…（6分）
（Ⅱ）过B作BE⊥平面PCD于E，过点B作BF⊥PC于F．
连接EF，则EF⊥PC．
∴∠BFE为二面角B-PC-D的平面角的补角． …（8分）
在RT△PBC中，求得BF=．
由V_P-BCD=V_D-PAC，得，
解得BE=．…（10分）
在RT△AEF中，求得sin∠BFE=．
所以所求二面角的大小为．…（12分）
分析：（1）要求直线AM与平面PCD所成角的正弦值则根据线面角的定义可知需过A向面PCD作垂线找到AM在面PCD上的射影则其与射影的夹角即为直线AM与平面PCD所成的角而根据四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD可得CD⊥面PAD因此只需过A作AN⊥PD于N，连接MN可得AN⊥面PCD即∠AMN为直线AM与平面PCD所成的角然后再解RT△PAD求出∠AMN的正弦值即可．
（2）可过B作BE⊥平面PCD于E，过点B作BF⊥PC于F，连接EF，则根据三垂线定理可得EF⊥PC则根据二面角的定义再结合图形的特征可知∠BFE为二面角B-PC-D的平面角的补角然后在解三角形BFE求出∠BFE即可得解．
点评：本题主要考察了线面角和二面角的求解，属常考题，较难．解题的关键是要熟记线面角和二面角的定义因为它是正确做出线面角和二面角的依据这不仅需要对立体几何中常用的判定定理和性质定理透彻理解而且要掌握一些解题技巧（比如本题第二问利用V_P-BCD=V_D-PAC求出BE的长度）这需要在做题中慢慢理解和积累！