Question

已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)讨论函数f(x)的奇偶性；

(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．

 

Answer 1

（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.

【解析】(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，所以x≠0，

所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．

(2)对于定义域内任意的x，有

f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．

(3)①当a>1时，对x>0，

所以ax>1，即ax－1>0，所以＋>0.

又x>0时，x3>0，所以x3>0，

即当x>0时，f(x)>0.

由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，

则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．

综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．

②当0<a<1时，f(x)＝，

当x>0时，0<ax<1，此时f(x)<0，不满足题意；

当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．

综上可知，所求a的取值范围是a>1