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    设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；
    （ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。
    （1）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
    （2）判断函数是否满足题设条件；
    （3）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v，若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。

    解：（1）由题设条件可知，当时，有

    即。
    （2）函数g（x）满足题设条件，验证如下：

    对任意的
    当时，有
    当时，同理有
    当，不妨设
    有
    所以，函数g（x）满足题设条件。
    （3）这样满足的函数不存在，理由如下：
    假设存在函数f（x）满足条件，则由得
    ①
    由于对任意的，都有
    所以，②
    ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在。
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
    （1）试证明对?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
    （2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f（x）的判断：
    ①y=f（x）是周期函数；
    ②y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
    ③y=f（x）在[0，1]上是增函数；
    ④f(
    12
    )=0    ．
    其中正确判断的序号是
     
    ．（把你认为正确判断的序号都填上）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设y=f（x）是定义在R上的函数，给定下列三个条件：
    （1）y=f（x）是偶函数；
    （2）y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
    （3）T=2为y=f（x）的一个周期．
    如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有
    3
    3
    个．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
    （Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
    （Ⅱ）判断函数g(x)=
    1+x，x∈[-1，0)
    1-x，x∈[0，1]
    是否满足题设条件；
    （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
    若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
    （Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
    （Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
    （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得
    |f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
    1
    2
    ]
    |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
    1
    2
    ，1]
    ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

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