Question

【题目】已知α，β为锐角， =cos（α+β）．
（1）求tan（α+β）cotα的值；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinβ=cos（α+β）sinα，

∴sin[（α+β）﹣α]=cos（α+β）sinα，

∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=cos（α+β）sinα

∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，

∴tan（α+β）cotα=2

（2）解：∵sinβ=cos（α+β）sinα=sinαcosαcosβ﹣sinβsin2α

∴sinβ（1+sin2α）=sinαcosαcosβ，

∴

即 ，

∵2tanβtan2α﹣tanα+tanβ=0，

∴（﹣1）2≥4（2tanβ）tanβ，

∴ ，当且仅当 时等号成立．

故tanβ的最大值为：

【解析】（1）由β=（α+β）﹣α，利用三角函数恒等变换的应用即可化简得解．（2）由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tanβtan2α﹣tanα+tanβ=0，再根据△=1﹣4（2tanβ）tanβ≥0，求得tanβ的最大值．