Question

19、在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生产100台报警系统装置．生产x台的收入函数为R（x）=3000x-20x²（单位元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位元），利润等于收入与成本之差．
①求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；
②求出的利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数Mp（x）最大值的实际意义．

Answer 1

分析：①由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得边际函数．
②由二次函数法研究p（x）的最大值，由一次函数法研究Mp（x），对照结果即可．
③Mp（x）最大值意义在于它显示出了，利润的最大增量．当从生产0件产品到生产1件产品的过程中利润增量由0变到2480，
Mp（x）是相对简单函数，能够很明了的标示利润与产量的关系．

解答：解：①根据题意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480
②∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴当x=62，63时
函数最大值为：74120
∵Mp（x）=-40x+2480
∴当x=0时
函数最大值为：2480
所以不一样
③Mp（x）最大值意义在于它显示出了，利润的最大增量．当从生产0件产品到生产1件产品的过程中利润增量由0变到2480
令Mp（x）=0，得x=62，这时p（x）恰好有最大值，说明当利润增量为0的时候，总利润恰好到达最大值，证明已经无利可图，就是总利润不会再增加，如果继续投入生产反而会牺牲部分利润．Mp（x）是相对简单函数，能够很明了的标示利润与产量的关系． 而最大值则限制产量的范围，及标示利润能够达到的最大增量．

点评：本题主考查函数模型的建立和应用，涉及了函数的最值，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．