Question

如图，三棱锥中，平面，，，为中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）二面角的正弦值为.

试题分析：（1）要证直线平面，只需证垂直于平面内的两条相交直线，首先在等腰三角形中利用三线合一的原理得到，通过证明平面，得到，再结合直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）解法一是利用三垂线法来求二面角的正弦值，利用平面，从点作的中位线，得到平面，再过点作，并连接，先利用直线平面来说明为二面角的平面角，最后在直角三角形中来计算的正弦值；解法二是以点为原点，、的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求二面角的余弦值，进而求出它的正弦值.
试题解析：（1）平面，平面，，
，平面，平面，，平面，
又平面，，
，为的中点，，
平面，平面，，平面；
（2）方法一：取的中点，连接，则.
由已知得面，过作，为垂足，连接，
由（1）知，平面，平面，，
，且，面，
平面，，故为二面角的平面角，
 
，
故二面角的余弦值为；

方法二:以为原点建立空间直角坐标系B，

，，，，，则，，
平面法向量为，
设平面法向量为，
则 
.
令z=1,得x=-1,y=1,.即，
设二面角E-AB-C为,则= 
故二面角的余弦值为.