Question

若数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的前三项和a₁，a₂，a₃；
（2）求{a_n-1}的通项公式，并求出a_n的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接由数列递推式求得数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）由S_n=2a_n+1，得S_n-1=2a_n-1+1（n≥2），作差后可得数列{a_n}构成以-1为首项，以2为公比的等比数列，求得其通项公式后可得{a_n-1}的通项公式．

解答： 解：（1）由S_n=2a_n+1，取n=1得，S₁=2a₁+1，∴a₁=-1．
取n=2得，S₂=a₁+a₂=2a₂+1，∴a₂=a₁-1=-1-1=-2．
取n=3得，S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+1，∴a₃=a₁+a₂-1=-4；
（2）由S_n=2a_n+1，得S_n-1=2a_n-1+1（n≥2），
两式作差得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}构成以-1为首项，以2为公比的等比数列，
则an=-1×2n-1；
∴an-1=-1×(2n-1+1)．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．