Question

（2012•临沂二模）已知函数f（x）=

(x2+2ax)e-x，x＜0 bx，            x≥0

，g（x）=cln（-x）+b，且x=-

2

是函数y=f（x）极值点．
（Ⅰ）求实数a值；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l是函数y=f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线，且直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[-e，-

1

e

]，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x＜0时，求导函数，利用x=-

2

是函数y=f（x）极值点，建立方程，即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＜0时，求导函数，进而可得当x＜0时，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，+∞），要使方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，由此可求实数m的取值范围；
（Ⅲ）先确定函数y=f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程，再利用直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[-e，-

1

e

]，可得切线l的方程，由此可得b=-c+cln(-x0)-4e2=-2e²[x₀-x₀ln（-x₀）+2]，构造新函数h（x₀）=x₀-x₀ln（-x₀）+2，x₀∈[-e，-

1

e

]，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当x＜0时，f（x）=（x²+2ax）e^-x，∴f′（x）=[-x²+（2-2a）x+2a]e^-x
∵x=-

2

是函数y=f（x）极值点，∴f′(-

2

)=0，∴-2+(2-2a)(-

2

)+2a=0，∴a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＜0时，f（x）=（x²+2x）e^-x，f′（x）=（-x²+2）e^-x
①当x＜-

2

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，+∞）；
②当-

2

＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0）
综上，当x＜0时，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，+∞）；
要使方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点
∴当b＜0时，m=0或m=(2-2

2

)e

2

；当b=0时，m∈（(2-2

2

)e

2

，0）；当b＞0时，m∈（(2-2

2

)e

2

，+∞）；
（Ⅲ）当x＜0时，f（x）=（x²+2x）e^-x，f′（x）=（-x²+2）e^-x
∵f（-2）=0，f′（-2）=-2e²
∴函数y=f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为y=-2e²（x+2），即y=-2e²x-4e²
∵直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[-e，-

1

e

]，
∴y₀=cln（-x₀）+b，又g′(x)=

c

x

，∴切线l的斜率为g′(x0)=

c

x0

∴切线l的方程为y-y0=

c

x0

(x-x0)，即y=

c

x0

x-c+cln(-x0)+b
∴

c x0 x=-2e2 -c+cln(-x0)+b=-4e 2

∴b=-c+cln(-x0)-4e2=-2e²[x₀-x₀ln（-x₀）+2]
令h（x₀）=x₀-x₀ln（-x₀）+2，x₀∈[-e，-

1

e

]，则h′（x₀）=-ln（-x₀）
令h′（x₀）=0，则x₀=-1
∴当-e≤x₀＜-1时，h′（x₀）＜0，h（x₀）单调递减；当-1＜x₀≤-

1

e

时，h′（x₀）＞0，h（x₀）单调递增
∵h（-1）=1，h（-e）=2，h（-

1

e

）=2
∴1≤h（x₀）≤2
∴-4e²≤b≤-2e²
∴实数b的取值范围是[-4e²，-2e²]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数与方程思想，考查导数的几何意义，综合性强．