Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，PA=$\sqrt{3}$，∠BAD=120°，∠ACB=90°．
  （1）求证：BC⊥平面PAC； 
  （2）求三棱锥B-PCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD可得PA⊥BC，有因为∠ACB=90°，即BC⊥AC，可得BC⊥平面PAC；
（2）AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°可得△ACD是等边三角形，故AC=1，∠BCD=150°，∠CAB=60°，从而求得BC的长及△BCD的面积，而PA为三棱锥P-BCD的高，故可求得三棱锥P-BCD的体积，即三棱锥B-PCD的体积．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．
（2）解：∵AB∥CD，∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，∵AD=CD=1，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=∠ACD=60°，AC=1，
∵∠BAD=120°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=60°，∠BCD=150°，∠ABC=30°，
在Rt△ABC中，AB=2AC=2，∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD•sin∠BCD=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•1•sin150°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵PA⊥底面ABCD，
∴V_棱锥B-PCD=V_棱锥P-BCD=$\frac{1}{3}$•S_△BCD•PA=$\frac{1}{3}$$•\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定和空间几何体的体积计算，选择恰当的底面和高是解决问题的关键．