Question

16．已知函数f（x）=|x-a|+|x+1|，若对任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，2]．f（x）最小值为3，则实数a的取值范围为{2，-4}．

Answer 1

分析 由函数的单调性的定义可得f（x）在[2，+∞）递增，求得f（x）的增区间，可得a的范围；运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值，令它为3，解方程可得a的值．

解答 解：对任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，
（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即有f（x）在[2，+∞）递增，
当x∈[2，+∞），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1-a，x≥a}\\{a+1，x＜a}\end{array}\right.$，
即有f（x）的增区间为[a，+∞），
则有a≤2；
函数f（x）=|x-a|+|x+1|
≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|，
当且仅当（x-a）（x+1）≤0，等号成立．
即f（x）的最小值为|a+1|，
由题意可得|a+1|=3，
解得a=2或-4．
故答案为：（-∞，2]，{2，-4}．

点评 本题考查含绝对值的函数的单调性和最值的求法，考查函数的单调性的判断和绝对值不等式的性质的运用：求最值，属于中档题．