Question

已知S_n为数列{a_n}的前项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•（-1）ⁿ，求数{b_n}的n项和P_n；
（Ⅲ）设c_n=

1

an-n

，数列{c_n}的n项和为T_n，求证：Tn＜

37

44

．

Answer 1

分析：（I）将S_n=2a_n+n²-3n-2利用数列中a_n，Sn的关系进行转化构造出新数列{a_n-2n}，再据其性质证明．
（Ⅱ）将（I）中所求的a_n代入bn，分组求和法求和．
（III）由于c_n=

1

an-n

=

1

2n+n

，从而得出：当n=1时，T₁=

1

3

＜

37

44

；当n≥时，T_n=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

利用等比数列的求和公式结合放缩法即可得到证明．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
∴a_n+1=2a_n-2n+2
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）
∴{a_n-2n}是以2为公比的等比数列．
（II）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2
∴a_n-2n=2ⁿ，∴an=2ⁿ+2n …5分
当n为偶数时，
P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（b1+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-（2^n-1+2（n-1）+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=

4(1-2n)

1-22

-

2(1-2n)

1-22

+n=

2

3

•（2ⁿ-1）+n         …7分
当n为奇数时，
Pn=-

2n+1+2

3

-（n+1）…9分
综上，Pn=

- 2n+1 3 -n- 5 3 (n为奇数) 2 3 •(2n-1) +n(n为偶数)

…10分
（III）c_n=

1

an-n

=

1

2n+n

，
当n=1时，T₁=

1

3

＜

37

44

；
当n≥时，T_n=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

3

+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

3

+

1

2

-

1

2n

=

5

6

-

1

2n

＜

5

6

＜

37

44

．
综上可知，任意n∈N^*，T_n＜

37

44

．…14分

点评：本题考查等比数列的判断、数列求和，转化，计算的能力．