Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2.

（I）证明：AB₁⊥BC₁；

（II）求点B到平面AB₁C₁的距离；

（III）求二面角C₁—AB₁—A₁的大小．

 

Answer 1

【答案】

（I）证明见解析

（II）

（III）

【解析】（法一）

（1）证：连B₁C       ∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁

又AC⊥BC   ∴AC⊥面BCC₁B₁   ∴B₁C为AB₁在面BCC₁B₁ 内的射影

又BC=BB₁ =2   ∴四边形BCC₁B₁ 为正方形

∴B₁C ⊥ BC₁    ∴AB₁ ⊥ BC₁   ……………………_{w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m}……………………………4分

（2）∵BC∥B₁C₁ 

  ∴C到面AB₁C₁ 的距离即为B到面AB₁C₁ 的距离

∵平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁

又B₁C₁ ⊥A₁C₁  ∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁ ∴平面AB₁C₁ ⊥平面ACC₁A₁

连A₁C∩AC₁ =O

∵四边形ACC₁A₁ 为正方形   ∴CO⊥面AB₁C₁

∴CO即为所求  ∴CO=  ∴B到面AB₁C₁ 的距离为 ………………………8分

（3）由（2）得 A₁O⊥面AB₁C₁ 

过O做OE⊥AB₁ 于E  连A₁E    由三垂线定理有A₁E⊥AB₁

∴∠A₁EO为二面角C₁-AB₁-A₁ 的平面角

又在Rt⊿A₁OE中，A₁O=   OE= 

∴tan∠A₁EO=      ∴∠A₁EO=

∴二面角C₁-AB₁-A₁ 的大小为       …………………………………………12分

（法二）（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点.

依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，2），[来源:学科网]

C₁（0，0，2），因为，所以AB₁⊥BC₁. ……………4分 

（2）设是平面AB₁C₁的法向量，

由得

所以令，则，

  因为，所以，B到平面AB₁C₁的距离为.…_{w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m}…………8分

（3）设是平面A₁AB₁的法向量.由

         令=1，

则

    因为所以，二面角C₁—AB₁—A₁的大小为60°…12分