Question

（2013•宁波模拟）等差数列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n项和为s_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若数列{b_n}满足 b_n=

1

sn+1-1

，其前n项和为T_n，求证T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，利用等差数列的通项公式求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a₁=1，d=2，知S_n=n²．从而得到b_n=

1

Sn+1-1

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂项求和法证明T_n＜

3

4

．

解答：解：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，
∵2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，
∴

2a1+3a1+3d=11 2a1+2d=a1+d+a1+5d-4

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²．
∴b_n=

1

Sn+1-1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．