Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+lnx+(a-4)x在（1，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设g(x)=|ex-a|+

a2

2

，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）知道函数是增函数，求参数范围，转化为导函数大于等于0恒成立，用分离参数求最值解决．
（2）为含有参数的绝对值函数的最值问题，关键是去绝对值，需考虑e^x-a的正负问题，进行讨论．
去绝对值后转化为关于t的一次函数，利用单调性求最值即可．

解答：解：（1）f′(x)=x+

1

x

+a-4，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．
∴a≥4-(x+

1

x

)恒成立，
∵x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号，
∴4-(x+

1

x

)＜2，∴a≥2；
（2）设t=e^x，则h(t)=|t-a|+

a2

2

，
∵0≤x≤ln3，∴1≤t≤3．
当2≤a≤3时，h(t)=

-t+a+ a2 2 ，1≤t＜a t-a+ a2 2 ，a≤t≤3

，
∴h（t）的最小值为h(a)=

a2

2

，
当a＞3时，h(t)=-t+a+

a2

2

，
∴h（t）的最小值为h(3)=a-3+

a2

2

．
综上所述，当2≤a≤3时，g（x）的最小值为

a2

2

，
当a＞3时，g（x）的最小值为a-3+

a2

2

．

点评：本题考查已知函数单调性求参数范围、求函数的最值、分类讨论思想等，综合性较强．