Question

已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．
（1）求证：

25x 2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][

25x2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

]≥（5x+4y+3z）²
因为5x+4y+3z=10，从而得出结论．
（2）先根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2

9x2•9y2+z2

=2•3x2+y2+z2，再根据柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²即可求出最小值．

解答：解：（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][

25x2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

]≥（5x+4y+3z）²
因为5x+4y+3z=10，所以

25x2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

≥

102

20

=5．
（2）根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2

9x2•9y2+z2

=2•3x2+y2+z2，
当且仅当x²=y²+z²时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²=100，
即  （x²+y²+z²）≥2，当且仅当

x

5

=

y

4

=

z

3

时，等号成立．
综上，9x2+9y2+z2≥2•32=18．

点评：本小题主要考查一般形式的柯西不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．