Question

2．若不等式${x^2}-2{log_a}x≤0在x∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$恒成立，则实数a的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 不等式整理为$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]时恒成立，只需$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值，利用分类讨论对a讨论即可．

解答 解：不等式${x^2}-2{log_a}x≤0在x∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$恒成立，
即为$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]时恒成立，
∴$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值．
∴$\frac{1}{2}$x²≤$\frac{1}{4}$≤log_ax，
当a＞1时，log_ax为递增，但最小值为负数不成立．
当0＜a＜1时，log_ax为递减，
最小值在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$上取到，
∴log_a $\frac{\sqrt{2}}{2}$≥$\frac{1}{4}$=log_a$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$，
故a的最小值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用对数函数的单调性和恒成立思想，考查运算能力，属于中档题．