Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的一个顶点为，右焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过作两条互相垂直的直线，且交椭圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由题意布列关于a，b的方程组，解之即可；

(2)讨论直线的斜率，联立方程利用韦达定理表示弦长，进而得到四边形的面积，借助对勾函数的图像与性质即可得到结果.

（1）依题意，设椭圆的方程为：

则，

设，由右焦点到直线的距离为，可得，

解得或（舍去）.

所以，.

故椭圆的方程为：.

（2）①当直线的斜率不存在时，此时的斜率为0，此时，

，则四边形的面积.

②当直线的斜率为0，此时的斜率不存在，同理可得四边形的面积.

③当直线的斜率存在，且斜率时，，则，将直线的方程代入椭圆方程中，并化简整理得，

可知，

设、，则有

则

同理可得

则的面积.

令，则

，

令，则有，则.

综上，.