某次考试共有8道选择题.每道选择题有4个选项.其中只有一个是正确的,评分标准为:“每题只有一个选项是正确的.选对得5分.不选或选错得0分．某考生每道题都给出一个答案.已确定有5道题的答案是正确的.而其余3道题中.有一道题可判断出两个选项是错误的.有一道题可以判断出一个选项是错误的.还有一道题因不了解题意而乱猜.试求该考生:(Ⅰ)得40分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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试题

（2011•扬州三模）某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）所得分数ξ的数学期望．

分析：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为

1

2

，有一道题目做对的概率为

1

3

，有一道做对的概率为

1

4

，由此能求出得40分的概率．
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．得25分的概率p1=

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，得30分的概率p2=

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

=

11

24

，得35分的概率p3=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

，得40分的概率p4=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为

1

2

，有一道题目做对的概率为

1

3

，有一道做对的概率为

1

4

，
所以得40分的概率为p=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．…4分
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．
得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为p1=

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，
得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为p2=

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

=

11

24

，
得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为p3=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

，
得40分是指做对8题，所以概率为p4=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．
得ξ的分布列为：

ξ

25

30

35

40

p

1

4

11

24

1

4

1

24

所以Eξ=25×

1

4

+30×

11

24

+40×

1

24

=

730

24

=

365

12

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．

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（Ⅰ）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（Ⅱ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）．

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p

2

)2=

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AB

CD

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1

16

1

16

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3

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1000π

3

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