Question

已知f（x）=lg（a^x-b^x）（a>1>b>0）.
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x轴?

Answer 1

（1）由a^x-b^x>0，得（）^x>1=（）⁰.
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为（0，+∞）.
（2）先证明f（x）是增函数.对于任意x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，∴>，<.
∴->-.
∴lg（-）>lg（-）.
∴f（x₁）>f（x₂）.
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数.
假设y=f（x）上存在不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），使直线AB平行于x轴，则x₁≠x₂，y₁=y₂，这与f（x）是增函数矛盾.
∴y=f（x）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.

（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.