Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2-x）=f′（x）．
（Ⅰ）设g（x）=x

f′(x)

，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=lnf′（x）=，若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）=x²+2bx+c，由f′（2-x）=f′（x），解得b=-1．由直线y=4x-12与x轴的交点为（3，0），解得c=1，d=-3．由此能求出函数g（x）在[0，m]上的最大值．
（Ⅱ）h（x）=ln（x-1）²=2ln|x-1|，，则h（x+1-t）=2ln|x-t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，由当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，知不等式2ln|x-t|＜2ln|2x+1|恒成立等价于|x-t|＜2x+1，且x≠t恒成立，由此能求出实数t的取值范围．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f′（x）=x²+2bx+c，
∵f′（2-x）=f′（x），
∴函数y=f′（x）的图象关于直线x=1对称，则b=-1．
∵直线y=4x-12与x轴的交点为（3，0），
∴f（3）=0，且f′（x）=4，
即9+9b+3c+d=0，且9+6b+c=4，解得c=1，d=-3．
则f(x)=

1

3

x3-x2+x-3．
故f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
g（x）=x

(x-1)2

=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1

，
如图所示．当x2-x=

1

4

时，x=

1± 2

2

，根据图象得：
（ⅰ）当x＜m≤

1

2

时，g（x）最大值为m-m²；
（ⅱ）当

1

2

＜m≤

1+ 2

2

时，g（x）最大值为

1

4

；
（ⅲ）当m＞

1+ 2

2

时，g（x）最大值为m²-m．  …（8分）
（Ⅱ）h（x）=ln（x-1）²=2ln|x-1|，
则h（x+1-t）=2ln|x-t|，
h（2x+2）=2ln|2x+1|，∵当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，
∴不等式2ln|x-t|＜2ln|2x+1|恒成立等价于|x-t|＜2x+1，且x≠t恒成立，
由|x-t|＜2x+1恒成立，得-x-1＜t＜3x+1恒成立，
∵当x∈[0，1]时，3x+1∈[1，4]，-x-1∈[-2，-1]，∴-1＜t＜1，
又∵当x∈[0，1]时，由x≠t恒成立，得t∉[0，1]，
因此，实数t的取值范围是-1＜t＜0．…（14分）

点评：本题考查函数最大值的求法，考查实数的取值范围的求法．考查推理论证能力的应用，考查计算推导能力．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．