Question

18．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AD、C₁D₁的中点，
（Ⅰ） 分别作出四边形BED₁F在平面ABCD、ABB₁A₁、BCC₁B₁内的投影，并求出投影的面积；
投影一的面积为4；
投影二的面积为4；
投影三的面积为4；
（Ⅱ） 直线BF与ED₁相交吗？答案：不；求直线BE与D₁F所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用投影，根据正方形的面积公式，可得结论；
（Ⅱ）根据异面直线的判定方法，可得直线BF与ED₁不相交；取BC的中点，则EG∥D₁F，可得∠BEG是直线BE与D₁F所成角．

解答 解：（Ⅰ）投影一的面积为2×2=4；投影二的面积为2×2=4；投影三的面积为2×2=4；
（Ⅱ） 直线BF与ED₁不相交，是异面直线；
取BC的中点，则EG∥D₁F，
∴∠BEG是直线BE与D₁F所成角，
∵BG=1，BE=$\sqrt{5}$，
∴直线BE与D₁F所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：4，4，4，不．

点评 本题考查投影面积的计算，考查直线BE与D₁F所成角的正弦值，考查学生的计算能力，属于中档题．