Question

13．如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB=AC且A，B，C，P四点共圆．
（1）求证：AC•DP=BD•PC
（2）若△ABC是面积为4$\sqrt{3}$的等边三角形，求AP•AD的值．

Answer 1

分析 （1）证明△DPC∽△DBA，所以$\frac{PC}{AB}$=$\frac{PD}{BD}$，利用AB=AC，可得结论；
（2）求出AC=4，证明△APC∽△ACD，所以$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，所以AP•AD=AC²=16．

解答 （1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC+∠APC=180°，
因为∠DPC+∠APC=180°，所以∠DPC=∠ABC，
因为∠D=∠D，所以△DPC∽△DBA，所以$\frac{PC}{AB}$=$\frac{PD}{BD}$，
因为AB=AC，所以$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PD}{BD}$．即AC•DP=BD•PC  …（5分）
（2）解：因为△ABC是面积为4$\sqrt{3}$的等边三角形，
所以AB=AC=4，
因为AB=AC，所以∠ACB=∠ABC，
又∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD+∠ABC=180°．
由于∠ABC+∠APC=180°，所以∠ACD=∠APC，
又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，所以AP•AD=AC²=16．…（10分）

点评 本题考查的知识点：四点共圆的性质，三角形相似的判定和性质．属于中档题．